Page 148 - Saberes y Raíces - Matemáticas 3

P-P
Geometría y Trigonometría

Lección 24. Teorema de Tales: semejanza y homotecia

Saberes ¡HOLA! EN ESTA OCASIÓN, VEREMOS NUEVAS Y ASOMBROSAS IDEAS.

Hay muchas situaciones en las que resulta indispensable medir distancias entre puntos inaccesibles, como la
distancia entre dos barcos en altamar, con el fin de que no colisionen. ¿Cómo crees que podrías hallar la distancia
entre ellos?

1. Subraya la opción que relaciona la letra de cada enunciado de la primera columna, con el número del enunciado de la
segunda columna que corresponde.

AB BC AC
A) Es el criterio de semejanza de triángulos AAA 1. Se cumple que = = .
A'B' B'C' A'C'
B) Los triángulos ABC y A'B'C' son semejantes 2. Hay un ángulo común y los lados adyacentes al ángulo
C) Es el criterio de semejanza de triángulos LAL son proporcionales.
D) Dos rectas son perpendiculares 3. Sus lados correspondientes son proporcionales.
E) Los ángulos entre dos paralelas y una transversal 4. Se cumple que A'B' = B'C' = A'C' .
AB BC AC
5. Los ángulos correspondientes son iguales.

a) A con 2 y 5; B con 1 y 3; D con 5, y E con 2 c) A con 5, B con 1, 2, 3, 4 y 5; C con 2, y E con 5
b) A con 2 y 4; B con 1 y 5; C con 2 y 5, y C con 2 d) A con 5, B con 1, 3 y 4, C con 2, D con 3, y E con 5

E C
Teorema de paralelas en triángulos (TPT). En un triángulo ABC cualquiera, todo A
segmento paralelo (DE) a uno de los lados, que corta a los otros dos, forma un
triángulo semejante al original, y los segmentos AE y EC son proporcionales a los
D
segmentos AD y DB, respectivamente; es decir:

AD = AE
DB EC B

A
2. En parejas, analicen la información y completen las frases posteriores.

sobre el triángulo ABC se trazó una
recta paralela al lado BC, que corta dos D E
lados del triángulo en los puntos D y E,
como se muestra en la figura.
B C

a) Como DE es paralelo al lado BC, los ángulos EDA y CBA son correspondientes e iguales; los ángulos DEA y BCA tam-
bién son . Por el criterio , los triángulos ABC y ADE son .

b) Por semejanza de triángulos, la razón es la misma.

AB
Por lo tanto, = .
AD
AD + DB
c) Consideramos las igualdades AB = AD + DB y AC = AE + EC y sustituimos = .
AD
AD DB
Es decir, + = .
AD AD
DB DB AD
d) Si 1 + = , en consecuencia, = y como los recíprocos son iguales: = .
AD AD DB

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